简单的几何运算

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不妨设这个小家伙的球体半径是r,那么,通过简单的立体几何计算球体的公式我们可以计算出它的体积是:

 V = \frac {4} {3} \pi r^{3}

假设小家伙只能靠它的体表从池塘里吸收养分,从而它的新陈代谢率也就是每时刻从环境吸收的能量值F与它的表面积成正比,设这个比例常数为k,则我们得到:

 F = \frac {2} {3} k \pi r^{2}

这样观察上面这两个式子,通过约去共同的变量r,我们可以得到一个FV之间的关系如下:

 F = k  \left( \frac{\pi}{3} \right)^{1/3}  V ^{2/3}

也就是说新陈代谢是与体积的2/3次幂呈正比的,这就是Rubner的主要结论。进一步,因为生物体的重量是与它的体积成正比的,也就是: F  \sim M^{2/3} 。事实上,如果生物体不是简单的球体,而是某个三维的实心体如立方体、棱锥体的话,那么由于体积与表面积存在着关系 S  \sim V^{2/3} ,所以新陈代谢与体积之间的关系仍然是  F  \sim M^{2/3} , 这就是Rubner给出的一种具有普遍意义的答案。

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