双曲空间模型

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在数学中,曲率为常数且为负数的空间被称为双曲空间。为了直观的表示双曲空间,数学家们开发了很多模型。

目录

彭加莱平面

跟踪曲线(Tractrix)

Tractrixtrygif.gif

莱布尼茨首先提出了跟踪曲线的问题。如上面的动画所展示。考虑水平地面上有一个物体,你用一根长长的细杆推动兼或拖拉着它。细杆的长度固定,一边连接着物体,而且连接处可以自由转动,另一端则被你手牵动着。当你沿着y=0这条直线匀速直线往前走的时候,那么这个物体在水平地面上运动后形成的轨迹就被称为跟踪曲线(Tractrix)[1]


下面,我们将列出这个曲线的方程,并根据这条曲线生成三维的双曲曲面。

如下图所示,根据跟踪曲线的含义,我们知道,物体的运动方向也就是曲线的切线方向,刚好与拖动的杆子(绳索)相重合,并且因为杆子的另一端始终在y=0上面滑动,所以我们可以列出方程:

Tractrixequationillustration.png

根据简单的几何运算,我们知道这条曲线需要满足下面的方程:


dy/dx=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}

其中a表示杆子的长度。当x=0时,杆子与y轴重合,于是y(0)=a为初始条件。不妨假设a=1,我们可以求解出这个微分方程。


x=\mathrm{arccosh}\frac{1}{y}-\sqrt{1-y^2}.

不过,为了后面讨论方便,我们采用曲线的弧长作为参数,来列出该曲线的参数方程。我们设从x=0点出发的曲线弧长s为自变量,那么可以知道曲线的参数方程就变为:


\begin{align}
&x=\mathrm{arccosh}\,e^{s}-\sqrt{1-e^{-2s}}\\
&y=e^{-s}
\end{align}

旋转跟踪曲面

让跟踪曲线绕着它的渐近线(y=0这个数轴)转一圈,形成的曲面就是一个满足曲率为-1的双曲平面,该曲面被称为Tractricoid(旋转跟踪曲面),也被称为伪球面(pseudosphere)。如下图所示

Pseudosphere-representation.png

我们可以用弧长以及旋转的角度作为基本参数,写出跟踪旋转曲面的参数方程:


\begin{align}
&x=\mathrm{arccosh}\,e^s-\sqrt{1-e^{-2s}}\\
&y=e^{-s}\mathrm{cos\,}\theta\\
&z=e^{-s}\mathrm{sin\,}\theta
\end{align}

其中s就是跟踪曲线上的物体从开始走过的弧长,\theta就是曲线从开始绕着y=0旋转的角度(如下图)。

Rotationtracixvoid.png

如果我们以s, \theta为自由参数,那么它们就构成了一个描述这个旋转曲面的坐标系。

下面,我们将设法找到制约这个新曲面的度规,有关度规,请参看空间曲面

假设我们从任意点s, \theta出发,沿着曲面行走一段小距离,这一小段既包括沿着s方向的行走,有包括了沿着\theta方向的转动。当角度旋转了d\theta之后,对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径,也就是e^{-s}d\theta,这样,曲面上的一段小微元距离就应该是:


dl^2=ds^2+e^{-2s}d\theta^2

接下来,如果我们令\gamma=e^{s},那么d\gamma=e^{s}ds,于是,我们就得到:


dl^2=\frac{d\gamma^2+d\theta^2}{\gamma^2}=\begin{pmatrix}d\gamma&d\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\gamma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\gamma^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\gamma\\d\theta\end{pmatrix}

或者,也可以写作:


dl=\frac{\sqrt{d\gamma^2+d\theta^2}}{\gamma}

于是,我们就可以用新的坐标:\gamma\theta作为坐标系,来刻画我们这个二维曲面。那么,根据空间曲面中的讨论,我们知道,这个新空间的度规矩阵可以是:


\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{\gamma^2} & 0\\
0&\frac{1}{\gamma^2}\\
\end{matrix}
\right)

而这个新的空间就被称之为彭加莱平面,它是刻画二维双曲曲面的一种最常用的模型。

彭加莱平面

800px-Poincare halfplane eptagonal hb.svg.png

定义

为了刻画双曲空间,人们发明了各种各样的模型,其中彭加莱平面(Poincare plane)是我们最常用的一个。上面我们只是用跟踪曲线作为一个引子将彭加莱平面模型给引出来。下面,我们来正式引入彭加莱平面二维双曲空间模型。

设曲面M,位于二维实数空间的上半平面上,即M=\{(u,v)\in R^2 | v>0\},其中u,v是曲面的坐标。对于该曲面上的任意两个切向量\textbf{w}_1,\textbf{w}_2,我们定义度规g为:

g(\textbf{w}_1,\textbf{w}_2)=\frac{\textbf{w}_1\cdot \textbf{w}_2}{v^2}

可以验证,这个度规g满足双线性的要求。这一具备该度规的曲面M被称为彭加莱平面

当给定切向量空间中的一组基以后,我们可以将度规表示为一个矩阵(因为度规是一个双线性映射)。即:

g(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{x}^TA\textbf{y}

这里\textbf{x},\textbf{y}都是切向量,并在一组基下相应地展开了,A是度规g对应的矩阵。

这样,比如普通的内积对应的矩阵就是单位阵,而彭加莱平面的矩阵就是:


\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{v^2} & 0\\
0&\frac{1}{v^2}\\
\end{matrix}
\right)

曲线长度

设M中有一条曲线\alpha(t), t\in [a,b],那么这条线的切向量为\alpha' dt, 它的长度就是dl=|\alpha'|_{hyp}dt=\frac{|\alpha'|_{euc}}{y(t)}dt,其中第一个长度|\alpha'|_{hyp}是在双曲空间下的长度,第二个长度|\alpha'|_{euc}是在欧氏空间下的长度。所以这条曲线在区间[a,b]上的长度就是:


l_{hyp}=\int_a^b{\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}}dt

测地线

设彭加莱平面上任意两点P、Q,那么过P、Q的曲线中,双曲距离最短的一个就是链接P、Q的测地线。根据双曲空间彭加莱模型,测地线需要满足方程(参看空间曲面):u''-\frac{2}{v}u'v'=0, v''+\frac{1}{v}u'^2-\frac{1}{v}v'^2=0,最后求解可得:

(u-d)^2+v^2=1/c^2

这是一个以u上任意点d为圆心,1/c为半径的圆,它可以由P、Q两点的坐标确定下来。这就是彭加莱平面上的测地线,如下图。

Poincareplanehalfillustration.png

当P、Q两点位于垂直于X轴的同一条直线上的时候,穿过P、Q的测地线就是这条垂直于X轴的竖直线,它可以看作是一个半径为无穷大的圆。

双曲距离

下面,我们考察空间中任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)之间的距离。

我们知道,PQ之间的双曲距离应该是连接P、Q两点的中心在x轴上面的半圆所对应的弧长。但是,我们并不能直接用这段弧长在欧氏空间下的弧长公式来计算,这是因为空间的度规不是欧氏的而是双曲的,因此我们应该沿着这段弧长对双曲度规做积分。我们设P、Q两点中心在x轴上的半圆的圆心O在x_0,半径为r,那么我们可以写出这个半圆所满足的参数方程为:

x=x_0+r \mathrm{cos\,}\theta,y=r \mathrm{sin\,}\theta

其中x_0=\frac{x_2^2-x_1^2+y_2^2+y_1^2}{2(x_2-x_1)},以及r=\sqrt{y_1^2+\frac{(x_1-x_2)^2-y_1^2+y_2^2)^2}{4(x_1-x_2)^2}}

沿这条曲线做度规的积分得到,距离:


d_{hyp}(P,Q)=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}}{y}d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{\mathrm{sin\,}\theta}d\theta=\log\frac{\tan{\theta_2/2}}{\tan{\theta_1/2}}

其中,\theta_1为P到O的直线与x轴的夹角,\theta_2为Q到O的直线与x轴的夹角,如下图:

Distanceinpoincareplane.png

进一步,如果我们设P对应的二维坐标写成复数z,而Q则写成复数z'的形式,那么将上式化简,可得到:


d_{hyp}(P,Q)=\log\frac{|z-\bar{z}'|+|z-z'|}{|z-\bar{z}'|-|z-z'|}
其中,z=x_1+y_1i,z'=x_2+y_2i,\bar{z}'=x_2-y_2i

等距变换

在一般曲面的几何中,人们一般关心这个空间中的等距变换。顾名思义,设\Gamma是一个将M上的点映射到另一个点的映射,那么如果它是一个等距变换的话,那么对于M上的任意两点有:


d(P,Q)=d(\Gamma(P),\Gamma(Q))

也就是说,这种几何变换可以保持距离。我们知道,刚体在欧氏空间中运动的时候,物体的形状就保持不变。因此,等距变换就相当于是让几何形体做刚体运动。

下面,我们可以看几个等距变换的实例:

同位变换(Homotheties)

所谓的同位变换,是指满足下列关系的变换:(\phi(x,y)=(\lambda x,\lambda y)),其中\lambda是变换中的参数。这种变换相当于以原点(0,0)为中心,向外放大几何图形。为什么说这是一种等距变换呢?这是因为对于任意的曲线\gamma(t),那么它上面的所有店点经过变换\phi之后映射到了新的曲线,那么这条新曲线的长度为:


l_{hyp}(\phi(\gamma))=\int_a^b\frac{\sqrt{\lambda^2x'(t)^2+\lambda^2y'(t)^2}}{\lambda y(t)}dt=\int_a^b\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}dt=l_{hyp}(\gamma)

由此可见,它并不改变曲线的长度。因此,对于任意两点之间的测地线来说,这个结论也满足,所以距离在这个变换下保持不变。

标准倒置变换

下面,让我们再来看一个等距变换的实例。这就是倒置变换,对于彭加莱平面上的任意点(x,y),等距变换\phi定义为:


\phi(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)

在几何上,这个变换相当于对点(x,y)沿着单位圆做倒置(参见下面的讨论)。

HyperbolicmodelInversePoints 701.gif

如图所示,所谓P与P'关于圆O互为倒置,是指|OP|\cdot |OP'|=r^2,其中r为圆的半径。

为什么说这个变换是一个等距变换呢?我们仍然用任意一条曲线\gamma(t)来说明。假设曲线\gamma: t \mapsto (x_1(t),y_1(t)), a\leq t\leq b

这里:


x_1(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2+y(t)^2}, y_1(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2+y(t)^2}

于是,它们的导数分别是:

x'_1(t)=\frac{(y(t)^2-x(t)^2)x'(t)-2x(t)y(t)y'(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}, y'_1(t)=\frac{(y(t)^2-x(t)^2)y'(t)-2x(t)y(t)x'(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}

将这两个式子化简,再相加到一起,得到:


x'_1(t)^2+y'_1(t)^2=\frac{x'(t)^2+y'(t)^2}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}

于是,就有:


l_{hyp}(\phi(\gamma))=\int_a^b\frac{\sqrt{x'_1(t)^2+y'_1(t)^2}}{y_1(t)}dt=\int_a^b\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}dt=l_{hyp}(\gamma)

所以,这是一个保距变换。

水平平移

设任意点(x,y),它沿水平方向平移x0定义为变换:


\phi(x,y)=(x+x_0,y)

容易验证,这种变换也是保距变换。

一般形式

我们已经看到了三种保距变换:同位、倒置和水平平移。我们知道,Poincare平面模型中的点(x,y)可以表达成复数z=x+yi,那么同位变换就相当于复数映射z\mapsto \lambda z ,倒置操作就相当于变换:z\mapsto \frac{z}{|z|^2}=\frac{1}{\bar{z}},这里\bar{z}是z的共轭复数。而平移变换则相当于:z\mapsto z+x_0,所以它们都可以写成复数的运算。一般的,对于任意一种保距变换来说,它都可以表达成复数变换公式:


z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},

或者:


z\mapsto \frac{c\bar{z}+d}{a\bar{z}+b}

这里的a,b,c,d\in R都是常数,且满足:


ad-bc=1

反过来讲,对于任意的参数a,b,c,d上述两式都可以对应彭加莱平面中的等距变换。

在欧氏空间中,我们将圆定义为到某一个定点P0距离相同的所有点的集合。

类似地,我们可以在双曲空间种定义圆为到某一个定点P0双曲距离相同的所有点的集合。那么这个双曲空间中的圆在Poincare平面空间中长什么样子呢?

我们设固定点P0的复数表示为z=a+bi, 动点P的复数表示为z'=x+yi,那么根据上述推出来的距离公式,我们有:


\frac{1+\frac{|z-z'|}{|z-\bar{z'}|}}{1-\frac{|z-z'|}{|z-\bar{z'}|}}=e^R

其中R就是这个圆的半径,c=\frac{e^R+1}{e^R-1}。将坐标代入,进行整理就会得到关于x和y的一个方程:


\left(x-\frac{a-ac^2}{1-c^2}\right)^2+\left(y-\frac{b+bc^2}{1-c^2}\right)^2=\left(\frac{2bc}{1-c^2}\right)^2

因此,从方程形式上不难看出,这在欧氏空间的笛卡尔坐标系下,是一个以(\frac{a-ac^2}{1-c^2},\frac{b+bc^2}{1-c^2})为圆心,以\left(\frac{2bc}{1-c^2}\right)为半径的圆。所以说,双曲空间下的圆在彭加莱平面的表象下也是圆。

我们可以让圆心P0取不同的位置,利用上述方程画出这些圆如下:


Hyperbolic circles.png

其中不同的颜色曲线对应了不同中心点P0的双曲空间中的圆,它们的半径都是1,这些圆的圆心坐标分别为(0,0.1),(0,0.5),(0,1),(1,0.5),(-1,0.5)。这些圆虽然双曲半径都是1,但是它们在欧氏空间下的表观形状会大小都不一样。由图可见,中心点越往上,它相应的表观半径也越大。在同一个水平方向上,圆的表观形状相同。

另外一个有趣的事实是,双曲空间中的圆的圆心并不在表观圆的圆心上,而且这种偏离程度会随着y坐标轴的升高而增大。

彭加莱圆盘

Escher Circle Limit III.jpg

虽然彭加莱平面可以很好地模型化双曲空间,但是它也仍然存在着很多弊端。为了避免这些弊端,我们可以再建立一种模型,这被称为彭加莱圆盘(Poincare disk,如上图)。为了得到彭加莱圆盘,我们首先要在(0,-1)的位置上,以\sqrt{2}为半径做一个圆。之后,我们就可以将彭加莱平面上的所有点都对这个圆做倒置(inversion)操作,然后再对y=0这个数轴做轴对称操作。

我们不妨将这一变换称为J,然后看一些特殊的点在J的作用下映射到了哪里。我们先看原点(0,0)。它到圆心的距离为1,所以它的倒置操作的对应像应该在(0,1)这个位置上,把它沿着y=0轴翻转一下就得到了(0,-1),所以(0,0)映射到了(0,-1)。我们再看看(-1,0)和(1,0),不难看出它们都在这个J的映射作用下保持不变。而无穷大会对应到(0,1)这个点上。不难验证,所有彭加莱平面上的点在J的作用下之后形成了一个以原点为中心的单位圆。这个圆就被称为彭加莱元。

如果我们用复数z来描述彭加莱平面上的所有点,那么变换J就可以写为下面这样的函数:


J(z)=\frac{i z+1}{z+i}

我们不妨验证一下,将z=0代入上式就得到,J(0)=-i,这和上面得到的计算结果是一模一样的。

实质上这个变换的本质就是在于将彭加莱平面的x轴沿着i这个点为中心卷起来,形成了彭加莱圆盘的外围的圆。

度规

在彭加莱圆盘上,对于任意点P(x,y),该点的任意两个向量为\textbf{u},\textbf{v},则度规定义为:

g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-x^2-y^2} 其中g为P点处的度规,d(u,v)为欧氏空间下的两向量的内积。

如果用复数来表示坐标的话,那么度规为:

g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-|z|^2}

我们也可以根据映射J,以及彭加莱平面的度规来计算出彭加莱圆盘的度规:


ds^2=\frac{4dx^2+4dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}=\begin{pmatrix}dx&dy\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-x^2-y^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-x^2-y^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}

或者:


ds=\frac{2\sqrt{dx^2+dy^2}}{1-x^2-y^2}

由于彭加莱圆盘是一个圆,所以我们用极坐标描述会更方便,那么,在极坐标(\theta,r)下的度规为:


ds^2=\frac{d\theta^2+r^2dr^2}{(1-r^2)^2}=\begin{pmatrix}d\theta&dr\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\theta\\dr\end{pmatrix}

距离计算

由于映射J: z\mapsto \frac{iz+1}{z+i}是保距的,对于任意的彭加莱平面上的两点P,Q, 它们对应的复数分别为:z,z',被这个映射映到彭加莱圆盘上,则在圆盘上的像J(P)和J(Q)之间的距离ddisk(J(P),J(Q)),应该等于=dplane(P,Q),而我们知道


d_{plane}(P,Q)=\log \frac{|z-\bar{z}'|+|z-z'|}{|z-\bar{z}'|-|z-z'|}

设J(P)和J(Q)对应的复数分别为w和w',这样,根据映射我们可以反解出:


z=\frac{1-wi}{w-i},z'=\frac{1-w'i}{w'-i},\bar{z}'=\frac{1+\bar{w}'i}{\bar{w}'+i}

将其带入可以得到


d_{disk}(J(P),J(Q))=d_{plane}(P,Q)=\log{\frac{1+s}{1-s}}

其中,s=\frac{|w-w'|}{|1-w\bar{w'}|}

这就是彭加莱圆盘中的两点距离的表达式。特别的,当Q是彭加莱圆盘的圆心的时候,w'=0,则距离表达式为:


d_{disk}(0,w)=\log{\frac{1+|w|}{1-|w|}}

其中,w为另一个点对应的复数。

测地线

PoincareHyperbolicDisk 700.gif

在Poincare圆盘中,测地线为与圆盘外围的圆相垂直的圆弧,包括穿越圆心的直线,如上图。

因为从Poincare平面到Poincare圆盘的映射为一个等距映射,所以它将Poincare平面上的测地线也映射成为Poincare圆盘上的测地线。又因为在平面中的测地线是垂直于x轴的圆,所以在圆盘上,测地线为垂直于边界圆的圆。

等距变换

所有的彭加莱圆盘上的等距变换都可以用下列式子来表示:


\phi(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\bar{\beta} z+\bar{\alpha}}, or, \phi(z)=\frac{\alpha \bar{z}+\beta}{\bar{\beta}\bar{z}+\bar{\alpha}}

其中,\alpha,\beta需要满足:


|\alpha|^2-|\beta|^2=1

如果我们设w=a+bi, w'=x+yi, 圆的半径为r,则根据两点之间的距离公式,有:


\log{\frac{1+|w'-w|}{|1-w\bar{w'}|}}=r

反解出关于x和y的方程:


1-a^2 c^2-b^2 c^2+\left(-2 a+2 a c^2\right) x+\left(a^2+b^2-c^2\right) x^2+\left(-2 b+2 b c^2\right) y+\left(a^2+b^2-c^2\right) y^2=0

进一步化简可得:


\left(x-\frac{ac^2-a}{c^2-a^2-b^2}\right)^2+\left(y-\frac{bc^2-b}{c^2-a^2-b^2}\right)^2=\left(\frac{\left(-1+a^2+b^2\right) c}{\left(a^2+b^2-c^2\right)}\right)^2

其中c=\frac{e^r+1}{e^r-1}。可以看出,这是一个圆的方程。所以,在彭加莱圆盘中的双曲圆也是欧几里德空间中的圆。下面,我们画出一些圆的图形,如下:

Hyperbolicpoincaredisk.png

最外圈的黑色的圆为彭加莱圆盘。其它的圆均是半径为0.6的圆,但是它们的圆心(a,b)位于不同的位置,圆心分别为:(0,0),(0,0.5),(0,0.9)以及(0.5,0.5),我们可以看到,在双曲空间中,圆心并不位于圆的正中心,越靠近边缘,圆心越往外靠近边缘。而且,圆越靠近边缘,圆的表观大小也会变小。

圆的周长和面积

虽然彭加莱圆盘中的双曲圆还表现为圆,但是它的周长与面积的计算则与欧氏空间中完全不同。这是因为,当我们计算周长或者面积的时候,我们实际上在计算曲线或者区域的积分,所以我们需要考虑双曲空间中的度规的影响,下面我们就来以圆心为(0,0),双曲半径为R(对应的欧几里德空间中的圆的表观半径为:r=\frac{e^R-1}{e^R+1}的圆为例来计算圆的周长和面积。

首先,周长计算应为:


C((0,0),R)=\int_0^{2\pi}\frac{2r}{1-r^2}d\theta=2\pi \sinh(R)

类似地,圆的面积为:


A((0,0),R)=\int\int_{|z|<r}\frac{4}{(1-|z|^2)^2}d\sigma=\int_0^{R}dr\int_0^{2\pi}d\theta \frac{4r}{(1-r^2)^2}=2\pi(\cosh{R}-1)

由此我们可以看出,无论是周长还是面积,它们都与半径R呈现出指数行的增长(注意到\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}),所以双曲空间是一个沿半径增长非常快的空间。到达圆盘边缘的区域就已经增长到相当的空间区域了。这就是双曲空间的显著特征。

不难用双曲空间中的圆方程证明,对于中心不在原点的圆,其直径和面积仍然是上述表达式。虽然我们不能将圆在不同位置平移,但是双曲空间的均匀性导致了圆的周长和面积是处处相等的。

扩展的彭加莱圆盘

在彭加莱圆盘模型中,我们要时刻警惕,虽然整个空间沿着中心对称,但是从原点到任意一个点的表观距离并不等于双曲距离。如果设表观的欧氏距离为re,双曲距离为rh,则这二者之间满足如下关系:


r_e=\tanh{r_h/2}

因此,为了让表观距离和实际的双曲距离一致,我们可以建立一个新的模型,这就是扩展的彭加莱模型,使得任意点到中心的距离刚好等于双曲距离。假设原始坐标系(彭加莱圆盘)上任意点的极坐标为(r,\theta),而新空间下该点的极坐标为(r',\theta'),则存在关系:


r'=2\tanh^{-1}{r},\theta'=\theta

则这个新的空间(r',\theta)即是扩展的彭加莱圆盘。

我们知道由于\tanh(x)函数是一个S型函数,在x趋近于无穷大的时候,该函数值趋于1。所以,彭加莱圆盘具有1单位大小的半径。而在扩展的彭加莱圆盘中,该空间的圆半径为无穷大。因而,在彭加莱圆盘表示中,靠近边缘的点被极度地压缩了。而在扩展的模型中,就不会存在这种被极度压缩的现象。

度规

我们知道,在彭加莱圆盘模型中,一小段微元可以写成极坐标形式的度规为:


ds^2=4\frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}=4(dr,d\theta)\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr\\ d\theta\end{pmatrix}

我们将坐标变换r=\tanh(r'/2),\theta=\theta'代入上式,并注意到:dr^2=\frac{dr'^2}{4\cosh^2(r'/2)},则得到:


ds^2=4\frac{\frac{1}{4\cosh(r'/2)} dr'^2+\tanh^2(r'/2)d\theta'^2}{(1-\tanh^2(r'/2))^2}=dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2

或者,可以写为:


ds=\sqrt{dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2}

任意两点距离公式

设任意两点P、Q,它们在扩展彭加莱圆盘中的极坐标为:(r,\theta)(r',\theta'),设它们之间的双曲距离为x,则:


\cosh{x}=\cosh(r)\cosh(r')-\sinh(r)\sinh(r')\cos(\Delta \theta)

其中,\Delta \theta=\pi-|\pi-|\theta-\theta'||



这与彭加莱圆盘中的距离公式一致,下面我们给出证明。

证明

首先根据彭加莱圆盘中的距离公式:

x=\log\frac{1+s}{1-s}, s=\frac{|w-w'|}{1-w\bar{w'}} ,并设w,w'在彭加莱圆盘中的极坐标分别为:(R,\theta),(R',\theta')


s=\sqrt{\frac{R^2+R'^2-2RR'\cos\Delta\theta}{1+R^2R'^2-2RR'\cos\Delta\theta}}

而: 
 \cosh(x)=\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1+s}{1-s}+\frac{1-s}{1+s}\right)=\frac{1+s^2}{1-s^2}

将s代入,则得到:


\cosh(x)=\frac{1+R^2+R'^2+R^2R'^2-4RR'\cos\theta}{(1-R^2)(1-R'^2)}

另一方面,将r=\tanh(R/2),r'=\tanh(R'/2)代入下面公式:


\cosh(x)=\cosh(r)\cosh(r')-\sinh(r)\sinh(r')\cos(\Delta \theta)=\frac{1+R^2}{1-R^2}\cdot \frac{1+R'^2}{1-R'^2}-4 \frac{RR'\cos\Delta\theta}{(1-R^2)(1-R'^2)}

故而两者相等。

近似表达式

当r和r'都很大,而且x也较大的时候,我们有近似公式:

x\approx r+r'+2\log{\sin(\Delta\theta/2)}

\Delta\theta/2)很小的时候,

x\approx  r+r'+2\log{\Delta\theta/2}

根据彭加莱圆模型与扩展模型中极坐标之间的关系:


r_e=\tanh(r_h/2)

又知道彭加莱圆模型中以某点为中心的圆方程,代入上述坐标变换公式,就能得到扩展模型中的圆。不难从图形上看出,这个圆被严重扭曲、拉伸了。

Hyperbolicextendedpoincaredisk.png

这些圆中心的坐标分别为:(0,0) 蓝色, (5,10) 紫色,(-3,3) 黄色,(1,10) 绿色,这些圆的半径都是10。我们看到,越远离坐标中心,圆的扭曲也越厉害。

各个模型的比较

上述文章介绍了三种双曲平面的表示模型:彭加莱平面、彭加莱圆盘以及扩展的彭加莱圆盘。我们可以通过下图来比较这三种模型:

Combinedplanediskextended.png

这是在扩展彭加莱圆盘模型中的一组同心圆,也就是每一条曲线都是以彭加莱圆盘中的坐标原点为中心,到圆心的双曲距离分别为1,2,……,10的圆。当把这组曲线画在彭加莱平面中的时候,我们就看到了一组以(0,1)为中心的双曲空间中的圆曲线(在彭加莱平面中,双曲圆的中心并不是欧氏圆的中心),而在彭加莱圆盘模型中,这组圆从里往外变得越来越紧密,这说明彭加莱圆盘越到外围空间越紧密。

参考文献

  1. Francis Bonahon: Low-dimensional geometry - From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots, American Mathematical Society, 1995
  2. John Stillwell: Geometry of Surfaces, Springer-Verlag New York, 1992
  3. Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on Hyperbolic Geometry, Springer-Verlag Berlin Hamberg, 1992
  4. Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix
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