分形

来自集智百科
跳转到: 导航搜索

分形是指一种几何对象,它可以看作是一种基本的图形或模式在不同尺度不断重复而得到。例如,著名的分形图案sipear三角就是一个典型的分形,三角形会在不同的尺度重复出现。分形经常会展现出一种自相似性,也就是图形的局部与整体是相似的。例如,在三角形中,一个局部的三角形可以看作是整体三角形在缩小(1/3)尺度的复制品。这种跨尺度的相似性恰是分形最重要的特征。

从严格的数学定义来说,分形是指一种几何体,它的分形维(Fractal dimension)与它的拓扑维不相等。所谓的分形维,是指一种对几何题复杂程度的度量,它通常有多种不同的定义,如Hausdorff维度、盒计数维度等等。拓扑维是指图形所被嵌入的空间维度。

分形具有不规则性,它通常是一种不可微的几何体,因此,我们很难用微积分等数学方法对其进行分析。

分形可以分为确定性分形和随机分形两种。确定性分形通常可以由一种确定性的迭代过程严格地构造出来,随机分形则是由随机过程构造的分形几何体。通常情况下,我们很难用确定性分形来描述现实实中发现的分形(例如血管、河流、山川),但却可以用随机过程来近似描述这些现实中的分形。

分形也可以用于描述非几何对象,如随机过程。如果我们将时间维度考虑进来,那么一个D维空间中的随机过程(如布朗运动)的样本曲线就是一条D+1维空间中的曲线,那么这条曲线也可能是分形。

目录

分形研究历史

很多数学家在正式的分形概念提出之前对自相似图形都有所研究。例如,17世纪的大数学家、哲学家Gottfried Leibniz就曾经研究过自相似图形。之后的一些数学家也曾经讨论过类似的想法,但是都没有给出正式的定义。到了1872年,Karl Weierstrass首先给出了一种函数的定义(Weierstrass函数),在今天看来,这个函数就是一个分形。1883年,数学家Georg Cantor受到了Weierstrass的启发,提出了康托尔集,一种用递归的方式构造出来的实数空间的子集,这是一种早期发现的分形。之后,Felix Klein以及Henri Poincare等人引入了“自反”(self-inverse)分形类。1904年,Julia集合作为一种广为人知的分形被提出来。随后,Koch雪花(Koch snowflak)、Sierpinski地毯等分形被剔除。1918年,Felix Hausdorff提出了Hausdorff维度,严格定义了分数维度。之后,Paul Levy讨论了自相似图形的概念。

1960年,Benoit Mandelbrot在Science杂志上发表了一篇题为《英国的海岸线有多长?统计自相似与分形维》(How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)的著名论文。与此同时,随着计算机技术的发展,人们可以通过计算机构造各种各样的分形图像。到了1975年,Mandelbrot进一步正式提出了“分形”的概念,并将数学上的分形定义与令人印象深刻的计算机展示结合起来展示分形,这使得分形的概念进入了大众的视野,并逐渐深入人心。

分形举例

确定性分形

Sierpinski三角形是由波兰数学家Waclaw Sierpinski构造的一种分形。这种分形由一系列不同大小的等边三角形通过递归构造而成。其图形如下:

554px-Sierpinski triangle.svg.png

其构造过程如下:

  • 首先,我们可以从一个等边三角形开始
  • 我们将三角形分成4个子集,每个子集都是一个等边三角形,它们彼此全等
  • 将中间的小三角形移除
  • 对剩下的三个三角重复2、3两个步骤

过程如下图所示:

640px-Sierpinski triangle evolution square.svg.png

我们不难计算出Sierpinski三角形的分形维是:


D=\frac{\log(3)}{\log{2}}\approx 1.585

随机分形

布朗运动粒子所形成的运动轨迹是一种典型的随机分形,布朗运动是植物学家Robert Brown于1872年发现的一种液体中悬浮颗粒的运动方式。布朗运动可以看作是一种维纳过程,这种过程定义为:第t+u时刻的位置减去第t时刻的位置相减满足一个方差为u的D维高斯分布,其中D为粒子所在的空间维度。布朗运动的轨迹如下图所示:

Brownianmotionexample.png

布朗运动的分形维为2

应用领域

很多自然和人工复杂系统都呈现出分形的特性,包括树木、河流、山川、城市、道路网络等

参考文献

  • Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan
  • Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. xxv. ISBN 0-470-84862-6.
  • Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. pp. 31; 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.
  • Mandelbrot, B. (1967). "How Long Is the Coast of Britain?". Science. 156 (3775): 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636.
个人工具
名字空间
操作
导航
工具箱